Bola

 Unsur-Unsur Bola

Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk dari tak hingga lingkaran yang memiliki jari-jari sama panjang dan berpusat pada titik yang sama. Bola dapat dibentuk dengan merotasi setengah lingkaran sebesar 360 derajat dengan diameter sebagai sumbu rotasi.

Mendapatkan Rumus Luas Permukaan Bola

Luas permukaan bola sama dengan dua pertiga luas permukaan tabung.

L = $\frac{2}{3}$ x Luas Permukaan Tabung

   = 4 $\pi$$r^{2}$

Mendapatkan Volume Bola

Jika jari-jari tabung = (r) dan tinggi tabung = (2r), maka

V Bola = $\frac{2}{3}$ x Volume Tabung

            = $\frac{2}{3}$ x $\pi$$r^{2}$t

            = $\frac{2}{3}$ x $\pi$$r^{2}$ x 2r

            = $\frac{4}{3}$  $\pi$$r^{3}$

Menentukan Luas Permukaan dan Volume Bola

Perhatikan Gambar di bawah ini!

Tentukan luas permukaan bola dan volume bola tersebut!

L = 4 $\pi$$5^{2}$

   = 4 $\pi$$25 cm^{2}$

   = 100$\pi$$cm^{2}$ 

V = $\frac{4}{3}$  $\pi$$r^{3}$

    = $\frac{4}{3}$  $\pi$$ 5 cm^{3}$

    = $\frac{4}{3}$  $\pi$$125 cm^{3}$

    = $\frac{500}{3}$  $\pi$

Kerucut

 Unsur-Unsur Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang dapat dibentuk dari tabung dengan mengubah tutup tabung menjadi titik. Kerucut merupakan limas dengan alas lingkaran. Contoh benda yang berbentuk kerucut adalah topi ulang tahun, topi pak tani, dan cone ice cream.

Unsur-Unsur Kerucut Terdiri dari:

1. Memiliki dua sisi $\left ( alas dan selimut  \right )$
2. Memiliki tinggi
3. Memiliki garis pelukis $\left ( s\right )$
4. Memiliki satu titik sudut
5. Memiliki jari-jari

Menentukan Luas Selimut Kerucut

Gambar di bawah ini merupaka gambar selimut kerucut.

Luas juring ABC = $\pi$rs

Menentukan Luas Permukaan Kerucut

Luas permukaan merupakan jumlah dari luas bangun datar penyusun jaring-jaring bangun ruang. Berikut ini gambar jaring-jaring kerucut.

L = luas lingkaran + luas selimut

   = $\pi$$r^{2}$ + $\pi$rs

   = $\pi$r x $\left ( r + s  \right )$

Menentukan Volume Kerucut

Berdasarkan definisi, kerucut merupakan limas yang alasnya lingkaran. Jadi volume kerucut sama dengan volume limas.

Volume Kerucut =  Volume Limas

                           = $\frac{1}{3}$ x luas alas x tinggi

                           = $\frac{1}{3}$ x $\pi$r x $ x t

                           = $\frac{1}{3}$ $\pi$r t

Menghitung Luas Permukaan Kerucut

Perhatikan gambar berikut ini

Hitunglah luas permukaan kerucut tersebut!

Untung menghitung luas permukaan kerucut kita membutuhkan panjang garis pelukis (s). Kita dapat menghitung panjang garis pelukis dengan teorema phytagoras.

$s^{2}$ = $15cm^{2}$ + $8cm^{2}$

              = 225 $cm^{2}$ + 64 $cm^{2}$

              = 289 $cm^{2}$

(s)         = 17 cm

L = $\pi$r x $\left ( r + s  \right )$

   = $\pi$ x 8 cm x $\left ( 8 cm + 17 cm \right )$

   = 8$\pi$ x 25 cm

   = 200 $\pi$

Menentukan Volume Kerucut

Perhatikan gambar berikut ini!

Hitunglah volume kerucut tersebut!

Untuk menghitung volume kerucut kita membutuhkan tinggi kerucut. Tinggi kerucut dapat dihitung menggunakan teorema phytagoras.

$s^{2}$ = $20cm^{2}$ - $12cm^{2}$

              = 400 $cm^{2}$ - 144 $cm^{2}$

              = 256 $cm^{2}$

(t)          = 16 cm

Tabung

 Unsur-Unsur Tabung

Tabung adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Benda-benda disekitar yang menyerupai tabung adalah celengan, kaleng susu, lilin, dan drum.

Unsur-unsur tabung terdiri dari:

1. Memiliki 3 buah sisi $\left ( alas, tutup, selimut \right )$
2. Memiliki 2 rusuk
3. Memiliki jari-jari
4. Memiliki diameter
5. Tidak memiliki titik sudut

Menentukan Luas Selimut Tabung

Perhatikan gambar di bawah ini !

Selimut tabung = Bangun ABCD

Luas Selimut = Luas ABCD

                      = panjang x lebar

                      = 2$\pi$r  x t

                      = 2$\pi$rt

Mendapatkan Rumus Luas Pemukaan Tabung

Berikut ini gambar tabung dan jaring-jaring tabung!

L = Luas Permukaan Tabung

= Luas jaring-jaring tabung

= 2 x luas lingkaran + luas ABCD

= 2 x $\pi$$r^{2}$ + t x 2$\pi$r

= 2$\pi$$r^{2}$ + 2$\pi$rt

= 2$\pi$r x $\left ( r+ t \right )$

Menentukan Volume Tabung

Perhatikan bangun ruang berikut!

Ketiga bangun ruang tersebut memiliki ciri ciri yang sama yaitu memiliki alas dan tutup yang sejajar dan kongruen. Sehingga volume tabung sama dengan volume limas yaitu luas alas x tinggi.

Berdasarkan gambar di atas, maka:

Volume tabung =  luas alas x tinggi

                         =  $\pi$$r^{2}$ x t

                         = $\pi$$r^{2}$t

Menghitung Luas Permukaan Tabung

Hitunglah luas permukaan tabung di bawah ini!

L = 2$\pi$r x $\left ( r+ t \right )$

   = 2 x 3.14 x $\left ( 3 cm + 7 cm\right )$

   = 6,28 x $\left ( 10 cm\right )$

   = 62, 8 cm

Menentukan Volume Tabung

Hitunglah volume tabung di bawah ini!

Volume tabung =  $\pi$$r^{2}$ x t

                         = 3,14 x $2 m^{2}$ x 6 m

                         = 3,14 x 24 $m^{3}$

                         = 75, 36 $m^{3}$

Kesebangunan Dua Segitiga

 Kesebangunan Segitiga

Dua buah segitiga dikatakan sebangun apabila memiliki bentuk yang sama. Syarat dua segitiga sebangun adalah:

1. Sudut-Sudut yang bersesuaian sama besar
2. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama

Pehatikan gambar berikut ini!

Sudut-sudut yang bersesuaian:

m$\angle A$ = m$\angle A'$ (terlihat dari kode pada gambar

m$\angle B$ = m$\angle B'$ (terlihat dari kode pada gambar

m$\angle C$ = m$\angle C'$ (terlihat dari kode pada gambar

Jadi sudut-sudut yang bersesuain sama besar

Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:

$\frac{AB}{A'B'}$ = $\frac{AC}{A'C'}$ = $\frac{BC}{B'C'}$

$\frac{6 m}{6a cm}$ = $\frac{5 cm}{5a cm}$ = $\frac{4 cm}{4a cm}$

$\frac{1}{a}$ = $\frac{1}{a}$ = $\frac{1}{a}$

Jadi perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama

Karena segitiga ABC dan A'B'C' memenuhi syarat kesebangunan yaitu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama, maka $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ A'B'C'

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar di atas!

Jika $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ DBA, $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ DAC, dan $\Delta$ DBA $\sim$ $\Delta$ DAC, maka:

$AB^{2}$ = BD x BC

$AC^{2}$ = CD x CB

$AD^{2}$ = BD x CD

Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun

Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan:

a. Panjang sisi DE dan AB

b. besar $\angle ACB$, $\angle ADE$, dan $\angle DAE$

Penyelesaian:

Gambar di atas berhimpit artinya $\Delta ABC$ $\sim$ $\Delta ADE$, maka:

$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{AC}{AE}$ = $\frac{BC}{DE}$

a. $\frac{AC}{AE}$ = $\frac{BC}{DE}$

$\frac{4 cm}{12 cm}$ = $\frac{5 cm}{DE}$

4 x DE = 12 x 5

4 DE = 60

DE = 15 cm

$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{AC}{AE}$

$\frac{AB}{AB+5 cm}$ = $\frac{4 cm}{12 cm}$

12 x AB = 4 (AB + 5)

12 AB = 4 AB + 20

12 AB - 4 AB = 20

8 AB = 20

AB = 2, 5 cm

b. m $\angle ACB$ = m $\angle AED$, m $\angle ABC$ = m $\angle ADE$, m $\angle BAC$ =  m$\angle DAE$

 

m $\angle ACB$ = $\angle AED$ = 45$^{\circ}$ (Sehadap)

m $\angle ABC$ = m $\angle ADE$ = 70$^{\circ}$ (Sehadap)

m $\angle BAC$ + m $\angle ACB$ + m $\angle ABC$ = 180$^{\circ}$ (Jumlah besar sudut dalam segitiga

m $\angle BAC$ + 45$^{\circ}$ +  70$^{\circ}$ = 180$^{\circ}$

m $\angle BAC$ + 115$^{\circ}$  = 180$^{\circ}$

m $\angle BAC$ = 180$^{\circ}$ - 115$^{\circ}$

m $\angle BAC$ = 65$^{\circ}$

m$\angle DAE$ = m $\angle BAC$ = 65$^{\circ}$ (berhimpit)

Kesebangunan Bangun Datar

 Kesebangunan Bangun Datar

Apa itu kesebangunan? Dua benda dikatakan sebangun apabila memiliki bentuk yang sama. Dua benda yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua benda yang sebangun belum tentu kongruen. Kesebangunan dapat dinyatakan dengan simbol $\sim $

Syarat dua buah benda sebangun adalah:

1. Sudut yang bersesuaian sama besar
2. Perbandingan sisi yang bersesuaian senilai

Perhatikan gambar berikut!

Berdasarkan gambar di atas, maka:

Sudut yang bersesuaian sama besar yaitu $90^{\circ}$

$\frac{panjang gambar 1}{panjang gambar 2}$ = $\frac{4 cm}{2 cm} $= 2

$\frac{lebar gambar 1}{lebar gambar 2}$ = $\frac{4 cm}{2 cm} $= 2

Jadi berdasarkan pernyataan di atas sudut-sudut yang bersesuaian sama besar yaitu $90^{\circ}$ dan perbandingan sisi yang bersesuaian sama yaitu 2, maka gambar 1 $\sim$ gambar 2

Menentukan Sisi-Sisi dan Sudut-Sudut yang Bersesuaian

Perhatikan gambar dua bangun yang sebangun berikut ini!

Berdasarkan gambar di atas tentukan:

a. Sisi-sisi yang bersesuaian

b. Sudut-sudut yang bersesuaian

Penyelesaian:

Sisi-sisi yang bersesuaian                            Sudut-sudut yang bersesuaian

AD $\to$ EH                                                 $\angle$ A $\to$ $\angle$ E     

AB $\to $ EF                                                 $\angle$ B $\to$  $\angle$ F 

BC $\to $ FG                                                 $\angle$ C $\to$  $\angle$ G

CD $\to $ GH                                                $\angle$ D $\to$  $\angle$ H

Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui Dari Dua Bangun Datar Sebangun

1. Perhatikan gambar berikut ini!

Bangun ABCD dan EFGH sebangun, Tentukan:

a. Nilai x, y, dan z

b. Panjang sisi EF dan BC

Penyelesaian:

a. Karena ABCD dan EFGH sebangun maka:

m$\angle $ A = m$\angle$ E

m$\angle $ B = m$\angle$ F

m$\angle $ C = m$\angle$ G

m$\angle $ D = m$\angle$ H

m$\angle $ C = m$\angle$ G $\to$ 22,6$^{\circ}$

m$\angle $ H + m$\angle $ G + m$\angle $ F + m$\angle $ E = 360 $^{\circ}$  (jumlah besar sudut dalam segi empat)

m$\angle $ H + 22,6$^{\circ}$ + 90$^{\circ}$ + 90$^{\circ}$ = 360$^{\circ}$

m$\angle $ H + 202,6$^{\circ}$ = 360$^{\circ}$

m$\angle $ H = 157,4$^{\circ}$

Jadi nilai x, y, z berturut-turut adalah 22,6$^{\circ}$, 157,4$^{\circ}$, 157,4$^{\circ}$

b. Karena ABCD dan EFGH sebangun maka:

$\frac{EF}{AB}$ = $\frac{FG}{BC}$ = $\frac{GH}{CD}$ = $\frac{EH}{AD}$

$\frac{EF}{AB}$ = $\frac{EH}{AD}$ 

$\frac{EF}{16 cm}$ = $\frac{15 cm}{20 cm}$ 

20 x EF = 16 x 15

20 EF = 240

EF = 12 cm

$\frac{FG}{BC}$ = $\frac{EH}{AD}$ 

$\frac{20 cm}{BC}$ = $\frac{15 cm}{20 cm}$ 

15 x BC = 20 x 20

15 BC = 400

BC = 24$\frac{2}{3}$

Kekongruenan Bangun Datar

 Kekongruenan Bangun Datar

Apa itu Kesebangunan?

Dua benda dikatakan kongruen apabila memiliki ukuran dan bentuk yang sama. Kekongruenan dapat disimbolkan dengan $\cong$ .

Dari contoh tersebut terlihat bahwa ukuran panjang dan lebar gambar 1 sama dengan ukuran panjang dan lebar gambar 2. Bentuk gambar 1 sama dengan bentuk gambar 2. Maka gambar 1 $\cong$  gambar 2.

Syarat Kesebangunan

1. Sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut yang bersesuaian sama besar.

Cara Penulisan Dua Bangun Datar yang Kongruen

Cara penulisan dua bangun datar yang kongruen adalah dengan menyesuaikan nama sudut-sudut yang bersesuaian. Misalnya sudut A bersesuaian dengan sudut P, sudut B bersesuaian dengan Q, sudut C bersesuaian dengan sudut R, sudut D bersesuaian dengan sudut S. Maka penulisannya menjadi: 

ABCD $\cong$  PQRS atau BCDA$\cong$  QRSP

Perhatikan Gambar Berikut!

Jika sudut C bersesuaian dengan sudut R dan Sisi AD bersesuaian dengan sisi PS. Maka buktikanlah ABCD$\cong$ PQRS.

Sudut-sudut yang bersesuaian:

Sudut A dan Sudut P maka m$\angle$ A = m$\angle$ P

Sudut B dan Sudut Q maka m$\angle$B = m$\angle$Q

Sudut C dan Sudut R maka m$\angle$C = m$\angle$R

Sudut D dan Sudut S maka m$\angle$D = m$\angle$S

Sisi-sisi yang bersesuaian

AD dan PS maka AD = PS

AB dan PQ maka AB = PQ

BC dan QR maka BC = QR

CD dan RS maka CD = RS

Karena ABCD memenuhi kedua syarat kesebangunan yaitu sudut-susudt yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka  ABCD$\cong$ PQRS.

Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui

Perhatikan gambar trapesium ABCD dan trapesium JKLM yang kongruen berikut ini!

1. Jika panjang sisi AD = 40 cm, AB = 20 cm, LM = 15cm, dan KL = 30 cm. Maka tentukan panjang sisi BC, CD, JK, dan JM!
2. Jika besar m$\angle$A = 60, m$\angle$D = 40. Berapakah besar $\angle$L dan $\angle$K!

Jawab!

ABCD $\cong$ JKLM, maka:

AB = JK                m$\angle$A = m$\angle$J

BC = KL               m$\angle$B = m$\angle$K

CD = LM              m$\angle$C = m$\angle$L

AD = JM               m$\angle$D = m$\angle$M

BC = KL = 30 cm, CD = LM = 15 cm, JK = AB = 20 cm, JM = AD = 40 cm

m$\angle$A = m$\angle$J = 60 

$\angle$J + $\angle$K = 180 (dalam sepihak)

60 + $\angle$K = 180

$\angle$K = 180 - 60

$\angle$K = 120

m$\angle$D = m$\angle$M = 40

$\angle$M + $\angle$L = 180 (dalam sepihak)

40 + $\angle$L = 180

$\angle$L = 180 - 40

$\angle$L = 140

Kekongruenan Segitiga

 Kekongruenan Dua Segitiga

Seperti yang sudah kita pelajari sebelumnya, dua buah bangun dikatakan kongruen apabila:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Lalu bagaimana dengan kekongruenan dua segitiga? kekongruanan dua segitiga memiliki syarat yang sama dengan kekongruenan bangun datar yaitu:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Namun, untuk menguji kekongruenan dua segitiga kita tidak perlu menguji semua sisi dan semua sudutnya. Dua segitiga dikatakan kongruen apabila memenuhi satu dari kondisi berikut ini:

Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sisi - sisi - sisi.

Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut sisi - sudut - sisi.

Dua pasang sudut yang bersesuai sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang. Biasa disebut sudut - sisi - sudut.

Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut sudut - sudut - sisi.

Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku-siku yang bersesuaian sama panjang.

Membuktikan Dua Segitiga Kongruen

Perhatikan gambar di bawah ini!

Buktikan bahwa segitiga ABC $\cong$ segitiga EDC!

Penyelesaian:

AC = CE (diketahui dari gambar yang ditandai dengan tanda yang sama

DC = CB (diketahui dari gambar yang ditandai dengan tanda yang sama

m$\angle$ ACB = m$\angle$ DCE (bertolak belakang)

Berdasarkan pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa segitiga ABC $\cong$   segitiga EDC

Perhatikan gambar di bawah ini!

Tunjukkan bahwa segitiga PQS $\cong$  segitiga RQS!

PS = RS (diketahui dari gambar yang ditandai dengan tanda yang sama

PQ = QR (diketahui dari gambar yang ditandai dengan tanda yang sama

SQ berhimpit sehingga memiliki panjang yang sama

Berdasarkan pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa segitiga PQS $\cong$  segitiga RQS